این دو تا مسئله رو مقایسه کنید:
1) علی می گوید هر عددی را که انتخاب کنید، با انجام 4 مرحله ی زیر باز هم به همان عددی که در ابتدا انتخاب کرده اید، می رسید:
1. عدد انتخابی را در 2 ضرب کنید.
2. جواب حاصل را با عدد 10 جمع کنید.
3. جواب را بر 2 تقسیم کنید.
4. عدد 5 را از جواب بدست آمده کم کنید.
شما گفته ی علی را چطور ثابت می کنید؟
2) علی می گوید اگر هر کس به من سه عدد طبیعی بدهد، من می توانم از بین آنها دو عدد طوری انتخاب کنم که مجموع آن دو عدد بر 2 بخشپذیر باشد. شما گفته ی علی را چطور ثابت می کنید.
سه سال پیش وقتی به بچه های دبستان این دو تا سوال رو دادم، یه چیز جالبی مشاهده کردم و از اون وقت خیلی ذهنم رو به خودش مشغول کرد ولی هیچ وقت فرصت تحقیق کردن درموردش رو پیدا نکردم.
خوب این که بچه های دبستانی برای نشان دادن درستی ادعاها، از مثال استفاده کنند، بدیهی هست اما مصاحبه با اون ها نشان داد که بعضی از اونها در انتخاب مثال ها، دقت نظر داشته اند.
برای نمونه، بچه ای که هر دو تا مسئله را با اعدادی در بازه های مختلف بررسی کنه. مثلا یک بار اعداد/عدد رو در بازه 1 تا 10 بگیره و بعد در بازه 10 تا 100 و بعد در بازه 100 تا 1000 و یک بار هم بزرگتر از 1000. خوب اگر چه که این نوع دسته بندی کردن برای هر دو مسئله، کمکی به دیدن ساختار اثبات نمی کنه اما به نظرم از انتخاب یکی دو مثال که هیچ نظمی نداره بهتره. اما
اما اگر فرد دسته بندی اعداد رو به صورت زوج و فرد در نظر بگیره و مثال هایی از هر کدوم از حالت های ممکن پیدا کنه، در مسئله 2، این مثال ها می تونه تبدیل بشه به مثال عام. در حالی که در مسئله 1 باز هم کمکی نخواهد کرد. این دقیقا کاری بود که یکی از بچه ها انجام داد. در مسئله دوم اعداد طبیعی را به دو دسته زوج و فرد تقسیم کرد. بنابراین از سه عدد داده شده، یا هر سه زوج هستند یا هر سه فرد یا دو تا زوج و یکی فرد و یا این که دو تا فرد و یکی زوج. با آوردن مثال هایی از هر حالت گفت که همیشه ادعای علی درست است. کارش به عنوان یک بچه دبستانی ستودنی بود اما برای مسئله اول هم دقیقا همین کار رو کرد یعنی یک عدد زوج مثال زد و تمام چهار مرحله رو رفت و دید دوباره به همان عدد می رسه و یک بار هم یک عدد فرد مثال زد و باز هم مراحل رو طی کرد و ... . در آخر هم نتیجه گرفت که چون برای زوج ها درسته و برای فرد ها هم درسته، پس کلا ادعای علی درست هست.
چنین مثال هایی (منظورم مثال هایی هست که در مسئله دوم، 4 حالت ممکن را برای داشتن سه عدد طبیعی بر اساس زوج و فرد کردن، پوشش می دهند)، نقش مهمی برای رساندن بچه ها به اثبات و نشان دادن ساختار آن دارند، حتی اگر در اون سن زبان مناسب رو برای اثبات دقیق نداشته باشند و یا به اندازه کافی تکنیک های مورد نیاز رو ندیده باشند.
این که چطوری یه فرد بتونه مثال یا مثال هایی انتخاب بکنه که نماینده خوبی برای همه باشه یک چالش جدی هست به خصوص برای بچه های دبستانی (و من). اصلا آیا بچه ها به این موضوع آگاهی دارند که مثال هاشون "خوب" هستند یا این که صرفا دارند یک کار تقلیدی می کنند که گاهی جواب می ده و گاهی هم نه یا ...؟ و سوالات دیگه ای که ذهنم رو مشغول کرده.
با توجه به علاقه مندی و تخصص دکتر اصغری عزیز در زمینه مثال ها خوشحال میشوم اگر توضیحی دارند ارائه بدهند یا گروهی برای تحقیق در این مورد به سرپرستی خودشون تشکیل بدهند.
راستش این چیزی رو که می خوام بنویسم می تونستم زیر همه جواب های دیگه هم بنویسم. برای همین لطفا این رو به عنوان جوابی به جواب های دیگرت هم در نظر بگیر. ببین همه ی جواب هایی که دادی کم و بیش در مقایسه با جستار مربوط یه خاصیت مشترک داشتن. اینکه در جستار قشنگ با ذکر یه مورد مشخص یا یه مثال مشخص سوالی پرسیده شده و جواب تو به یک کلیت آلترناتیو اشاره می کنه بدون اینکه معلوم باشه واقعا چه جوری قرار است اون کلیت به کار بیاد. به همین، دلیل خیلی سخت بشه در مورد آنها نظر داد چون اصلا معلوم نیست در مورد چی باید نظر داد. به زبان خودت، تا یه جوری چیزی که می پرسی به تجربه ی ما وصل نشه، خیلی بعید می دونم ما بفهمیم چی داری می پرسی!
سلام آقای سبحانی
ممنون از این که خواندید و نظر دادید.
من هنوز متوجه ارتباط آنچه نوشته‌ام و آنچه نوشته‌اید نمی‌شوم.
مشاهده‌ای که داشته‌ام درمورد "تولید مثال" و "نقش مثال" در اثبات درستی یک گزاره بود توسط بچه‌های دبستان؛ چون که می‌دونیم توی این سن، اغلب بچه‌ها نمی‌تونند اثبات صوری مناسبی ارائه دهند.
اگر لطف کنید مشخص کنید چه ارتباطی بین این موضوع و نوشته شما وجود دارد، ممنون میشوم.