امروز داشتم یه درس نامه برای توان ها آماده می کردم که به توان صفر رسیدم. با توجیهات معمول استدلال کردم که چرا هر عدد غیر صفری به توان صفر خوبه یک باشه. مثلا اگه 7 به توان 5 رو بر 7 به توان 5 تقسیم کنیم، جواب 1 می شه. از طرفی اگه بخواهیم قانون تقیسم توان ها برقرار باشه، جواب باید هفت به توان صفر بشه، با این حساب اینکه هفت به توان صفر رو برابر 1 بگیریم انتخاب خوبی است.
رسیدم به اینکه چرا پایه را نباید صفر بگیریم. استدلال معمولم این بود که خوب از یه طرف صفر به هر توانی صفر می شه با این حساب (1) صفر به توان صفر هم باید صفر بشه. از طرف دیگه هر چی به توان صفر باید یک بشه، پس (2) صفر هم به توان صفر باید یک بشه. خلاصه نمی شه هم خر رو (1) و هم خرما رو (2) با هم داشت. ولی یهو در مورد (1) شک کردم که به این ایده ی خیلی جالب و دوست داشتنی رسیدم از این کتاب ریاضیات گسسته که نمی دونم آیا به فارسی ترجمه شده یا نه.
خلاصه ی حرفشون اینه که اشتباهه که به (1) ارجاع داده بشه چون تابع (x^a) یه تابع بی اهمیت است. ولی در مقابل بسط دوجمله ای ((a+b)^n) یه قضیه ی خیلی مهم است و اگه بخواهیم بی خودی روی اون قضیه محدودیت نگذاریم، مثلا اینکه نگیم (a) و (b) نباید هر دو صفر باش یا اینکه (a) نباید با (-b) برابر باشه، بهتره که صفر به توان صفر را یک تعریف کنیم. به نظرم خیلی حرف موجهی می رسه.
برای انتخاب های ممکن در حوزه های مختلف اینجا را نگاه کنید.
ببخشید من نمی فهمم! یعنی چی که بی خودی محدودیت نگذاریم برای بسط دوجمله ای؟
من هنوز موجه بودنش رو درک نمی کنم؟ یعنی بسط دو جمله ای داره چه کمکی می کنه که موجه نمود پیدا کنه؟
به عبارت های زیر نگاه کن
((a+b)^0=1)
((a+b)^1=a+b)
((a+b)^2=a^2+2ab+b^2)
الان دوست داری این ها رو همینطوری خوشگل و بدون هیچ شرط و شروطی بخونی یا اینکه دوست داری اینها را با این شرط اضافی بخوانی که در خط اول فلان اتفاق و بهمان اتفاق نباید بیافتد.
این روش بسیار فوق‌العاده هست و من شخصا خودم توجیه شدم! اما فقط یه موضوع به ذهنم اومد اونم اینه که من وقتی به هفتما اینو بگم ( که یه بار گفتم) هنوز وارد جبر یعنی متغیرها نشدم. فقط دارم با عدد صحیح کار می کنم... قبلا یکبار یک در نظر می گرفتم و یکبار صفر و در محاسبات به عهده بچه ها گذاشتم که کدوم بهتره باشه... البته کار سختیه....
حالا فکر می کنید اینکارو چطور فقط با عدد صحیح انجام بدیم؟ یا اینکه فکر می کنید باید صبر کنیم و وقتی یکم جبر گفتیم اینو اونجا توجیه کنیم؟
وقتی به استدلال (۱) و (۲) که در بالا اشاره کردم توجه کنی می بینی که در هر دوی اونها یه پرشی است. مثلا می گی ۳ به توان صفر، یک است. ۲ به توان صفر یک است، ۱ به توان صفر یک است. و یهو می گی پس انتظار داریم صفر به توان صفر هم ۱ باشه. راستش تا وقتی پایه ها در اعداد طبیعی هستن این انتظار جز یه شهود الکی چیزی نیست. و در واقع وقتی پایه به سمت صفر میل می کنه، اون وقته که اگه پیوستگی تابع نمایی که پایه اش ایکس است و توانش صفر، برامون مهم باشه، اونوقت می گیم، پس خوبه صفر به توان صفر هم یک تعریف کنیم. و این پرش رو من تا همین پریروز متوجه اش نبودم. و فکر نمی کنم برای بچه های کلاس هفتم هم اگه دو مسیر رو بری و به شهود الکی برای اون پرش آخر دو مسیر استناد کنی و بگی یه مسیر خوبه جواب صفر باشه و یه مسیر خوبه جواب یک باشه و برای همین کلا صفر به توان صفر رو تعریف نمی کنیم، مشکلی پیش بیاره. و راستش فکر می کنم ، کم خطر ترین مسیر آموزشی ممکن است. چون محافظه کارانه و بدون جانبداری به نفع یکی از دو جواب است. هر کدام از شهود های به کار رفته هم خیلی بعدها می تونه براشون دقیق بشه.
خیلی ممنون از راهنماییتون.
دکتر اصغری (البته چیز جدیدی نیست) ولی من بازم نمی فهمم. آخه این که من بیشتر چی دوست دارم که نشد توجیه!!!!
تازه به نظرم بچه ها رو گیر می ندازه که هر چی دلشون خواست و دوست داشتند و به نظرشون خوشگل تر اومد، همون طوری فکر کنند هم درسته.
مثلا من دوست دارم بینهایت تقسیم بر بینهایت رو یک بگیرم! خوبه دیگه؛ چون از همون قوانین ساده کردن های قبلی داره پیروی می کنه.
یا مثلا دو به توان صفر را مثل آرتین هیچی دو درنظر بگیرم و بشه صفر. به نظر خیلی موجه میاد. هر چند که ادبیات داره منحرف می کنه ولی خوب موجه هست دیگه.
توضیحاتی که بعد به آقای کیانوش دادید خیلی خوب و مفید بود. استفاده کردم. واقعا ممنونم.
دکتر اصغری (البته چیز جدیدی نیست) ولی من بازم نمی فهمم. آخه این که من بیشتر چی دوست دارم که نشد توجیه!!!!
تازه به نظرم بچه ها رو گیر می ندازه که هر چی دلشون خواست و دوست داشتند و به نظرشون خوشگل تر اومد، همون طوری فکر کنند هم درسته.
مثلا من دوست دارم بینهایت تقسیم بر بینهایت رو یک بگیرم! خوبه دیگه؛ چون از همون قوانین ساده کردن های قبلی داره پیروی می کنه.
یا مثلا دو به توان صفر را مثل آرتین هیچی دو درنظر بگیرم و بشه صفر. به نظر خیلی موجه میاد. هر چند که ادبیات داره منحرف می کنه ولی خوب موجه هست دیگه.
توضیحاتی که بعد به آقای کیانوش دادید خیلی خوب و مفید بود. استفاده کردم. واقعا ممنونم.
سلام شراره. خوب فکر می کنم توضیحاتی که برای کیانوش نوشتم و به نظر می رسه تو هم اون ها را خواندی، جوابی است به اون من باز هم نمی فهمم 🙂
بر خلاف مثال هایی که زدی، در این مورد، اینکه ببینی کدوم رو بیشتر می پسندی، کاملا یه دلیل ریاضی داره. اگه آنالیز کار باشی و به هر دلیلی پیوستگی تابع صفر به توان ایکس برات مهم باشه، اون رو صفر تعریف می کنی و حواست هست که به بسط دو جمله ای که رسیدی، شرط بگذاری، برای حالتی که توان صفر است.
اگر ترکیبیات کاری، اون رو یک تعریف می کنی، و حواست هست که فلان تابع تو آنالیز پیوسته نمی شه.
بنابراین، بر خلاف مثال هایی که زدی، هر کدام از انتخاب ها در این مورد، یه دلیل ریاضی دارن. ولی خوب، از اونجایی که بعید است هیچ کدام از این دو گروه بتوانند دیگری را برای عدم استفاده از انتخابش قانع کند، فکر کنم بهترین کار آموزشی که می شه کرد اینه که طرف هیچ کدوم رو نگرفت و اون رو تعریف ناشده در نظر گرفت.
آخیــــــش. چه حس خوبیه وقتی می فهمم!
مرســــــــــــــــی.
خودت رو بگذار جای اون بچه که بهش گفتی هر دو جواب قابل قبوله و بعد گفتی ما جواب ۱ را به عنوان قرارداد قبول می کنیم! آخه اون بچه فکر نمی کنه ریاضیات به همون کشکی است که فکرش رو می کرد؟