مثال های خوب  

صفحه 1 / 2

شراره
ارسال‌ها: 102
(@sharareh8)
Estimable Member
عضو شده: 2 سال قبل

این دو تا مسئله رو مقایسه کنید:

1)     علی می گوید هر عددی را که انتخاب کنید، با انجام 4 مرحله ی زیر باز هم به همان عددی که در ابتدا انتخاب کرده­ اید، می رسید:

1.       عدد انتخابی را در 2 ضرب کنید.

2.       جواب حاصل را با عدد 10 جمع کنید.

3.       جواب را بر 2 تقسیم کنید.

4.       عدد 5 را از جواب بدست آمده کم کنید.

شما گفته ی علی را چطور ثابت می کنید؟

 

2)      علی می گوید اگر هر کس به من سه عدد طبیعی بدهد، من می توانم از بین آنها دو عدد طوری انتخاب کنم که مجموع آن دو عدد بر 2 بخشپذیر باشد. شما گفته ی علی را چطور ثابت می کنید.

 

سه سال پیش وقتی به بچه های دبستان این دو تا سوال رو دادم، یه چیز جالبی مشاهده کردم و از اون وقت خیلی ذهنم رو به خودش مشغول کرد ولی هیچ وقت فرصت تحقیق کردن درموردش رو پیدا نکردم.

خوب این که بچه های دبستانی برای نشان دادن درستی ادعاها، از مثال استفاده کنند، بدیهی هست اما مصاحبه با اون ها نشان داد که بعضی از اونها در انتخاب مثال ها، دقت نظر داشته اند.

برای نمونه، بچه ای که هر دو تا مسئله را با اعدادی در بازه های مختلف بررسی کنه. مثلا یک بار اعداد/عدد رو در بازه 1 تا 10 بگیره و بعد در بازه 10 تا 100 و بعد در بازه 100 تا 1000 و یک بار هم بزرگتر از 1000. خوب اگر چه که این نوع دسته بندی کردن برای هر دو مسئله، کمکی به دیدن ساختار اثبات نمی کنه اما به نظرم از انتخاب یکی دو مثال که هیچ نظمی نداره بهتره. اما

اما اگر فرد دسته بندی اعداد رو به صورت زوج و فرد در نظر بگیره و مثال هایی از هر کدوم از حالت های ممکن پیدا کنه، در مسئله 2، این مثال ها می تونه تبدیل بشه به مثال عام. در حالی که در مسئله 1 باز هم کمکی نخواهد کرد. این دقیقا کاری بود که یکی از بچه ها انجام داد. در مسئله دوم اعداد طبیعی را به دو دسته زوج و فرد تقسیم کرد. بنابراین از سه عدد داده شده، یا هر سه زوج هستند یا هر سه فرد یا دو تا زوج و یکی فرد و یا این که دو تا فرد و یکی زوج. با آوردن مثال هایی از هر حالت گفت که همیشه ادعای علی درست است. کارش به عنوان یک بچه دبستانی ستودنی بود اما برای مسئله اول هم دقیقا همین کار رو کرد یعنی یک عدد زوج مثال زد و تمام چهار مرحله رو رفت و دید دوباره به همان عدد می رسه و یک بار هم یک عدد فرد مثال زد و باز هم مراحل رو طی کرد و ... . در آخر هم نتیجه گرفت که چون برای زوج ها درسته و برای فرد ها هم درسته، پس کلا ادعای علی درست هست.

چنین مثال هایی (منظورم مثال هایی هست که در مسئله دوم، 4 حالت ممکن را برای داشتن سه عدد طبیعی بر اساس زوج و فرد کردن، پوشش می دهند)، نقش مهمی برای رساندن بچه ها به اثبات و نشان دادن ساختار آن دارند، حتی اگر در اون سن زبان مناسب رو برای اثبات دقیق نداشته باشند و یا به اندازه کافی تکنیک های مورد نیاز رو ندیده باشند.

این که چطوری یه فرد بتونه مثال یا مثال هایی انتخاب بکنه که نماینده خوبی برای همه باشه یک چالش جدی هست به خصوص برای بچه های دبستانی (و من). اصلا  آیا بچه ها به این موضوع آگاهی دارند که مثال هاشون "خوب" هستند یا این که صرفا دارند یک کار تقلیدی می کنند که گاهی جواب می ده و گاهی هم نه یا ...؟ و  سوالات دیگه ای که ذهنم رو مشغول کرده.

با توجه به علاقه مندی و تخصص دکتر اصغری عزیز در زمینه مثال ها خوشحال میشوم اگر توضیحی دارند ارائه بدهند یا گروهی برای تحقیق در این مورد به سرپرستی خودشون تشکیل بدهند.

5 Replies
محمد سبحانیان
ارسال‌ها: 21
(@soby)
Eminent Member
عضو شده: 2 سال قبل

به نظرم اثباتهای ریاضی، ادامهٔ نمادین شده، ماشینی شده و مرتب شدهٔ اثبات‌های یونانیه که اونها هم چیزی جز مرتب شدن روش‌های مساحان و طناب‌کشهای مصری و مثلث‌بندی‌های اونها نیست.

بهتره اینجوری بگیم که استدلال کلا در همون زندگی تجربی شکل گرفته و رشد کرده و به شکل امروزی در اومده. برای همین خوبه که استدلال‌ها رو از تجربیات روزمره و با زبان محاوره (در حد فهم دانش‌آموز) انجام بدیم و بعد هی اونها رو دقیق‌تر و دقیق‌تر کنیم. در واقع شاید بهتر باشه تدوین مطالب طوری باشند که این کار امکان‌پذیر باشه و ادامهٔ ماجرا. در این روش تدوین درست مطالب از اهمیت زیادی برخورداره.

این روش همون چیزیه که من اسمش رو گذاشتم «از تجربه تا تجرید» و البته در کتاب «ریاضیات مقدماتی: از تجربه تا تجرید» سعی کردم اون رو برای دانش‌آموزانی با تجربه زیستهٔ یک دانشجوی سال اول یا تجربهٔ زیستهٔ یک دانش‌آموز متوسطهٔ دوم پایه‌ریزی کنم. (البته از تجربه تا تجرید علاوه‌بر تجرید روش‌های استدلال، بیشتر بر تجرید مفاهیم ریاضی به‌همراه استدلال بر اساس اون مفاهیم و ... اشاره داره)

ممنون میشم شما، دکتر اصغری و دیگر دوستان نظر بدهند و در بهبود این اثر بهم کمک کنند.

پاسخ
Amir
ارسال‌ها: 159
 Amir
Admin
(@amir)
عضو
عضو شده: 2 سال قبل

راستش این چیزی رو که می خوام بنویسم می تونستم زیر همه جواب های دیگه هم بنویسم. برای همین لطفا این رو به عنوان جوابی به جواب های دیگرت هم در نظر بگیر. ببین همه ی جواب هایی که دادی کم و بیش در مقایسه با جستار مربوط یه خاصیت مشترک داشتن. اینکه در جستار قشنگ با ذکر یه مورد مشخص یا یه مثال مشخص سوالی پرسیده شده و جواب تو به یک کلیت آلترناتیو اشاره می کنه بدون اینکه معلوم باشه واقعا چه جوری قرار است اون کلیت به کار بیاد. به همین، دلیل خیلی سخت بشه در مورد آنها نظر داد چون اصلا معلوم نیست در مورد چی باید نظر داد. به زبان خودت، تا یه جوری چیزی که می پرسی به تجربه ی ما وصل نشه، خیلی بعید می دونم ما بفهمیم چی داری می پرسی!

پاسخ
محمد سبحانیان
ارسال‌ها: 21
(@soby)
Eminent Member
عضو شده: 2 سال قبل

قبل از هر چیزی بگم که بابت توجه و حوصله‌تون ازتون واقعا ممنونم.

قسمت اول حرفم در مطلب قبل، منظرم به اثبات و چیستی اثبات رو قبل از هر حرفی مشخص می‌کنه.

اما در این مورد، به‌طور مثال اعداد طبیعی رو میشه دو مدل بیان کرد.

۱. شمارش رو یاد بدیم. بعد بگیم هر عددی از اعداد قبلی خودش بزرگتر و از اعداد بعدیش کوچکتره. اینجوری اعداد طبیعی صرفاً کلماتی هستند که یکی بعد از دیگری میاد و دقیقا همون نگاه پئانو هست که کاملا در نگاه صورتگرایی به ریاضی قرار می‌گیره و شباهتش با درک تجربی از اعداد کمتر میشه. در این روش مجبور میشیم همه‌چیز رو بر پایه عددنویسی بیان کنیم که ما رو به سمت حساب می‌بره و مجبوریم بعداً از حساب به سمت جبر بریم. اینجوری دانش‌آموز مجبور میشه جابجایی یا شرکت‌پذیری رو به‌صورت استقرایی از روی محاسبه‌های متعدد بسازه. اگه هم بخواهیم از استدلال‌های شهودی استفاده کنیم به‌نوعی وارد دیدگاهی می‌شویم که در مورد بعد توضیح می‌دهم و دانش‌آموز در این پرش فکری در مورد چیستی عدد، مستعد گیچ شدن است و ....

۲. بدون استفاده از اعداد (کلمات)، با زدن اشیاء دو گروه (با تناظر یک‌به‌یک)، کوچکتری، بزرگ‌تری و تساوی دو تعداد رو بیان کنیم. بعد هر عدد طبیعی رو به‌عنوان نامی بر تعدادهایی برابر معرفی کنیم (که از طرفی کاملا تجربی بهش رسیدیم و از طرفی به نگاه فرگه نزدیکه، در مقام مقایسه با روش قبل). تا جایی که من فهمیدم، انسان‌ها قبل از شمارش، به‌طور کاملا حسی، مثل میمون‌ها و خیلی حیوانات دیگه، تساوی، کوچک‌تری و بزرگ‌تری تعدادِ دو گروه از اشیا با تعدادهای کمتر از ۴ رو درک می‌کردند و با نام‌گذاری بر اونها اعداد شفاهی به‌وجود اومدند. اینجا هم در واقع از همین درک ساده به اعداد که کاملا بر درک شهودی و تجربی بشر استواره و خیلی راحت می‌تونه باهاش استدلال کنه، اون هم استدلال‌هایی که به استدلال‌های دقیق ریاضی در بحث هم‌عددی دیده میشه، اعداد رو می‌سازیم و شروع به استدلال می‌کنیم.

در واقع تدوین مناسبی از مطالب ارائه می‌دهیم که استدلال دقیق ریاضی رو به استدلال‌های روزمره و قابل فهم برای اون شخص نزدیک کنه. اینجوری تفکر در زندگی روزمره و تفکر ریاضی به هم نزدیکتر میشن حالا دیگه خیلی راحت میشه از درک شهودی و تجربی برای درک جابجایی، شرکت‌پذیری و ... استفاده کرد و بعد اون رو به‌صورت نمادین هم بیان کرد؛ صرفاً با استفاده از حروف به‌عنوان پارامتر. بدون استفاده از اونها به‌عنوان مجهول یا متغیر.

البته در این روش مجبوریم 2+3 رو به‌معنای افزودن ۲ شیء به ۳ شیء درنظر بگیریم که به‌صورت ۳ بعلاوهٔ ۲ هم خونده میشه و با 3+2 متفاوته و میشه بحث کرد و دلیل خواست که چرا برابر میشن؟

خلاصه اینکه منظورم از نزدیک کردن استدلال‌های ریاضی به استدلال‌های روزمره اینه. این همون کاریه که توی همون فایلی که براتون فرستادم هم انجام دادم. (بعلاوهٔ چندتا کار دیگه...)

نمیدونم این توضیحات تونستن کمکی به مسئله بکنند؟

پاسخ
شراره
ارسال‌ها: 102
(@sharareh8)
Estimable Member
عضو شده: 2 سال قبل

سلام آقای سبحانی

ممنون از این که خواندید و نظر دادید.

من هنوز متوجه ارتباط آنچه نوشته‌ام و آنچه نوشته‌اید نمی‌شوم.

مشاهده‌ای که داشته‌ام درمورد "تولید مثال" و "نقش مثال" در اثبات درستی یک گزاره بود توسط بچه‌های دبستان؛ چون که می‌دونیم توی این سن، اغلب بچه‌ها نمی‌تونند اثبات صوری مناسبی ارائه دهند.

اگر لطف کنید مشخص کنید چه ارتباطی بین این موضوع و نوشته شما وجود دارد، ممنون می‌شوم.

پاسخ
صفحه 1 / 2

روز تولد مریم (۲۲ اردیبهشت)، روز دوستی ریاضی

در تماس باشید

لطفا ما را از فعالیت های خود برای روز دوستی ریاضی آگاه کنید.

Sending

Log in with your credentials

or    

Forgot your details?

Create Account

لطفا ورود یا عضویت