تصویر پروفایل

۳۶۵ مسئله برای ۳۶۵ روز

  • گروه عمومی
  • 77

    نوشته‌ها

  • 20

    اعضاء

ادامه ی روز هجدهم، ادامه ی مساله ی پنجم***

سلام دوست ریاضی من انجمن ها ۳۶۵ مسئله برای ۳۶۵ روز ادامه ی روز هجدهم، ادامه ی مساله ی پنجم***

4 کاربر
8 پاسخ
  • نویسنده
    نوشته ها
  • #13690
    Amir
    سرپرست کل

    فقط برای اینکه یه کمی ماجرا در ادامه هیجان انگیز تر بشه، به جای نسبت قطر مربع به شعاع دایره، وارون آن، یعنی نسبت شعاع دایره به قطر مربع را در نظر بگیرید. پس مساله اینه:

    یک دایره و یک مربع مساحت یکسانی دارند. نسبت طول شعاع دایره به طول قطر مربع چقدر است؟

    تعمیم سرراست بعدی این است:

    یک کره و یک مکعب حجم یکسانی دارند. نسبت طول شعاع کره به طول قطر مکعب چقدر است؟

    تعمیم بعدی که مغز ترکون است، این است:

    یک کره ی چهار بعدی و یه مکعب چهار بعدی «حجم» یکسانی دارند. نسبت طول «شعاع» کره به طول «قطر» مکعب چقدر است؟

    سخت بشه این موجودات رو تصور کرد. ولی بگذارین یه تصویری از اونها بگیریم.

    مکعب راحت تر است. در جدول زیر ، \(a\) ضلع مکعب است.

    حجم مکعب دو بعدی(همون مربع خودمون)         \(a^۲\)
    حجم مکعب سه بعدی                                    \(a^۳\)
    حجم معکعب چهار بعدی                                \(a^۴\)
    ….                                                         …..

    حجم کره خیلی فنی تر است ولی یه تلاشی می کنم. در نظر بگیرین حجم درون یه دورتادوری است. با این حساب، حجم کره ی دو بعدی (که همون دایره ی خودمان است) یعنی درون دورتادور آن، که همان محیط خودمان است.  در جدول زیر ، \(r\) شعاع است.

    کره ی یه بعدی ما یعنی به پاره خط بین دونقطه. مرزش یعنی وسط اون پاره خط. شعاعش یعنی فاصله ی مرکز از هر یک از اون دو نقطه.

    حالا چرا این کره ی یک بعدی اینجا مهم می شه. به خاطر یه موضوعی خیلی عجیب که شاید شما حالا حالا ها دلیل درستی اش را نبینین ولی یکی از کلیدهای ماجرا است.

    اون قرمزی ردیف بالا   \(2.\pi.r\) برابر اون قرمزی ردیف پایین است. خوب حتما می گین خوب که چه چی، فلان چیز هم فلان چیز برابر فلان چیز است. این که نشد مشاهده. ولی خوب نکته اینجاست که این یکی در مورد همه خونه های جدول که در چنین موقعیتی قرار دارند درست است. مثل دو خانه ی زیر:

    فکرش رو بکن این یعنی اندازه سطح کره ی چهار بعدی هست:

    \( ۲\pi r.\pi r^{۲} =۲\pi ^{۲} r^{۳}\)

    ولی ما حجم کره ی چهار بعدی رو می خواستیم نه سطح اون رو. این یکی به یه موضوعی مربوط می شه که اگه خوش شانس باشین باید در درس های مربوط به مشتق و انتگرال دیده باشین.

    می شه تو هر ستون با دونستن بالای ستون (سطح) پایین ستون (حجم) رو به دست آورد.

    [spoiler title=”از سطح به حجم”]

    توان r را یکی زیاد می کنیم و کل عبارت را بر توان جدید تقسیم می کنیم.

    [/spoiler]

     

    به این ترتیب می شه حجم کره ی چهار بعدی رو با توجه به سطح اون به دست آورد که می شه:

    \( \dfrac{۱}{۲} \pi ^{۲} r^{۴}\)

    حالا همه چی برای حل مساله آماده است:

    یک کره ی چهار بعدی و یه مکعب چهار بعدی «حجم» یکسانی دارند. نسبت طول «شعاع» کره به طول «قطر» مکعب چقدر است؟

    و حتما می دونین سوال بعدی چی است.

    یک کره ی پنج بعدی و یک مکعب پنج بعدی «حجم» یکسانی دارند. نسبت طول «شعاع» کره به طول «قطر» مکعب چقدر است؟

    و همینطور سوال های بعدی. و حالا آن چیزی که دهانتان را از تعجب باز نگه می دارد.

    این نسبت ها را واقعا حساب کنید. یعنی ضرب و تقسیم هایش را انجام دهید و ببینید همینطوری که بعد بیشتر و بیشتر می شود چه اتفاقی می افتد. 

    ابتدا تلاش کنید دهان خود را از تعجب ببندید. بعدش را خودتان می دانید!

  • #13698
    azar
    مشارکت کننده

    سلام. جالب بود ولی بد جوری ذهن رو درگیر می کنه و به سادگی نمیشه از این افکار بیرون اومد?

  • #13738
    مریم عادلی ساردو
    مشارکت کننده

    ممنون دکتر اصغری عزیز عالی بود.من برای این که نسبت به فضای چهاربعدی حس بیش‌تری پیدا کنم یه جستجویی کردم:اینجا را ببینید.

     

  • #13751

    آیا این مسئله به مسئله تاریخی یونانی تربیع دایره مربوط میشه!

    • #13752
      Amir
      سرپرست کل

      هیچ ایده ای ندارم چه جوری ممکنه مربوط بشه.

  • #13777

    سلام لطفا بیشتر توضیح دهید اخر حل مسئله گیج شدم هر چند مبهوت توضیح رابطه ابعاد و سطح و حجم شدم چون من فکر می کردم حجم یعنی سه بعد و سطح یعنی دو بعد و خط یعنی یک بعد و اینها قابل تبدیل به هم نیستند.

    • #13778
      Amir
      سرپرست کل

      یه تلاشی می کنم. سعی می کنم از اسم هایی استفاده کنم که خنثی هستند که بار معنایی کمتری برات داشته باشند.

      نقطه های \(( \pm 1,\ \pm 1)\) را در نظر بگیر. یعنی چهار تا نقطه ی \( (+1,\ +1)\) و \(( -1,\ +1)\) و \( (+1,\ -1)\) و \( (-1,\ -1)\). این چهار تا نقطه، گوشه های یه هپلی در فضای دو بعدی هستند. می گیم دو بعدی چون تو این فضا ما برای مشخص کردن هر نقط به دو عدد نیاز داریم.

      نقطه های \( (\pm 1,\ \pm 1, \ \pm 1)\) را در نظر بگیرید. اینها هشت تا نقطه، گوشه های یه هپلی در فضای سه بعدی هستند. می گیم سه بعدی چون تو این فضا ما برای مشخص کردن هر نقط به سه عدد نیاز داریم.

      هر کدوم از این هپلی ها یه درونی دارن و این درون یه اندازه ای داره. مثلا اندازه ی درون هپلی دو بعدی من هست \(2^2\) و اندازه ی درون هپلی سه بعدی من هست \(2^3\).

      تا اینجای ماجرا می تونستی یه قلم و کاغذ برداری و هپلی دو بعدی و سه بعدی رو بکشی یا اونها رو تصور کنی. از اینجا به بعد، یه جور دیگه باید ادامه بدی. نکته اینجاست که من می تونم بگم:

      نقطه های \(( \pm 1,\ \pm 1, \ \pm 1, \ \pm 1)\) را در نظر بگیرید. این شانزده تا نقطه، گوشه ی های یه هپلی در فضای چهار بعدی هستند. می گیم چهار بعدی چون تو این فضا ما برای مشخص کردن هر نقط به چهار عدد نیاز داریم.

      می تونی اعتراض کنی بگی گوشه دیگه چیه. و من می تونم بگم به جای گوشه از باقالی استفاده کن یا اصلا از اون استفاده نکن.

      حالا، اندازه ی درون این هپلی چهار بعدی خیلی طبیعی به نظر می رسه که باشه \(2^4\).

      حالا می خوام برم سراغ مملی.

      نقطه \(( 0,\ 0)\) را در نظر بگیر. همه ی نقطه های فضای دو بعدی رو که از این نقطه  \(( 0,\ 0)\) به فاصله مشخص \( r\) قرار دارند رو بهش می گیم مملی فضای دو بعدی. مملی دورتادور یه شکلی است که شامل همه ی نقطه هایی می شه که فاصله اشان از \(( 0,\ 0)\) از \( r\) بیشتر نیست. اون دورتادور، یه اندازه ای داره که می دونیم فرمولش محاسبه اش اینه: \(2\pi r\) و اون درون هم یه اندازه ای داره که می دونیم فرمول محاسبه اش اینه: \(\pi r^2\) .

      نقطه \(( 0,\ 0,\ 0)\) را در نظر بگیر. همه ی نقطه های فضای سه بعدی رو که از این نقطه  \(( 0,\ 0,\ 0)\) به فاصله مشخص \( r\) قرار دارند رو بهش می گیم مملی فضای سه بعدی. مملی دورتادور یه شکلی است که شامل همه ی نقطه هایی می شه که فاصله اشان از \(( 0,\ 0,\ 0)\) از \( r\) بیشتر نیست. اون دورتادور، یه اندازه ای داره که می دونیم فرمولش محاسبه اش اینه: \(4\pi r^2\) و اون درون هم یه اندازه ای داره که می دونیم فرمول محاسبه اش اینه: \(\frac{4}{3} \pi r^3\) .

      نقطه\((0,\ 0,\ 0,\ 0)\) را در نظر بگیر. همه ی نقطه های فضای چهار بعدی رو که از این نقطه  \((0,\ 0,\ 0,\ 0)\) به فاصله مشخص \( r\) قرار دارند رو بهش می گیم مملی فضای چهار بعدی. مملی دورتادور یه شکلی است که شامل همه ی نقطه هایی می شه که فاصله اشان از \((0,\ 0,\ 0,\ 0)\) از \( r\) بیشتر نیست.

      تا اینجا همه چی خوب جلو می ره و دانش مورد نیاز براش همون فرمول هایی است که هزار بار با هاشون تمرین حل کردیم و البته یه عالمه تخیلی فکر کردن.  قدم بعدی است که ما رو تو تله می ندازه:

      اون دورتادور، یه اندازه ای داره که می دونیم فرمولش محاسبه اش اینه:  چیه؟ و اون درون هم یه اندازه ای داره که می دونیم فرمول محاسبه اش اینه: چیه؟

      این چیه ها در خود جستار جواب داده شدن ?

       

       

  • #13779

    استاد بینش فوق العاده ای در حل مسئله دارید درست است بعضی اصطلاحات بار تخیلی زیادی دارند که باعث می شوند مسئله حل نشده باقی بماند متشکرم.

برچسب‌های تاپیک

شما برای پاسخ به این جستار باید وارد تارنما شوید.

تصویر پروفایل
آفلاین
  • 0

    نوشته‌ها

  • 0

    نظرات

روز تولد مریم (۲۲ اردیبهشت)، روز دوستی ریاضی

در تماس باشید

لطفا ما را از فعالیت های خود برای روز دوستی ریاضی آگاه کنید.

Sending

Log in with your credentials

or    

Forgot your details?

Create Account