من و یه گروه دو نفری تو ایران داریم یه مطالعه مقدماتی در مورد درک نسبت و تناسب انجام می دیم. سوال زیر یکی از سوال هایی است که می خواهیم استفاده کنیم:
در یک کارتن 8 تخم مرغ سفید و 7 تخم مرغ قهوه ای وجود دارد و در کارتن دیگر 10 تخم مرغ سفید و 8 تخم مرغ قهوه ای داریم. در کدام کارتن تخم مرغ قهوه ای بیشتری قرار دارد؟
مشکل اینجاست که جواب سوال به این شکل که پرسیده شده به طور واضحی اون کارتن با 8 تخم مرغ قهوه ای است. ولی هدف ما مقایسه تعداد نیست و مقایسه نسبت است. ولی اگه از کلمه ی نسبت استفاده کنیم در صورت سوال یهو مساله تبدیل به یه مساله روتین می شه که بچه های هدف ما هزار تا مثل اون رو دیدن. چه جوری می شه بدون استفاده از کلمه ی نسبت در صورت سوال، اون رو یه جوری پرسید که جواب به اون نیازمند مقایسه نسبت ها باشه نه مقایسه ی تعداد؟
من دو تا ایده به ذهنم می‌رسه که هر دوتاش یه ذره سوال رو شاید از فرم اصلی که شما دوست دارید خارج کنه.
۱.اگر از رویکرد احتمالاتی استفاده کنیم خیلی پیچیده و خارج از کانتکست میشه؟
مثلا بپرسیم که: قراره با چشم بسته یه تخم‌مرغ از یک جعبه انتخاب کنیم، هر کسی تخم‌مرغ قهوه‌ای برداره برنده میشه. شما برای برنده شدن کدوم جعبه رو انتخاب می‌کنید؟
۲. این یه ذره فیزیکی‌تره: جای تخم مرغ فرض کنید که قوطی رنگ با سایز برابر داریم، اگر ۸ تا قوطی رنگ قهوه‌ای رو با ۱۰ قوطی رنگ سفید قاطی کنیم، رنگ حاصل قهوه‌ای پررنگتره یا اگر ۷ تا قوطی رنگ قهوه‌ای رو با ۸ قوطی رنگ‌سفید مخلوط کنیم؟
ممنون. من هر دو تا ایده رو با گروه مطرح می کنم، ببینم چی می گن.
به جای استفاده از تخم مرغ از رنگ استفاده کنید. رنگ آبی و سفید.
تو زنگ نقاشی ٬ سامان و امیر شروع می کنند به ساختن رنگ برای رنگ کردن آسمون نقاشی شون. چون رنگ آبی آبرنگ شون خیلی تیره بود تصمیم گرفتند که اون رو با سفید ترکیب کنند تا به رنگ آبی روشن برسند.
امیر به اندازه ۸ تا قاشق رنگ آبی بر میداره و به اندازه ۷ تا قاشق رنگ سفید. سامان هم ۱۰ تا قاشق رنگ آبی را با ۸ تا قاشق رنگ سفید ترکیب میکنه.
به نظرتون آسمون نقاشی کدوم شون روشن تره؟
بعد از نوشتن، متوجه شدم بخشی از حرفم رو بالاتر زدند. اما به هر حال!
دربارهٔ «نسبت بدون استفاده از «نسبت»» کمی فکر کردم.
۱. آیا مسئله باید دقیقاً همین مسئله باشه و فقط دنبال جملهٔ مناسب در انتهاش می‌گردید؟ امکان تغییر مسئله هم هست؟
۲. شاید بشه با ربط دادن مسئله به مفهومی که نسبت توش مهمه، مشکل رو حل کرد. مثال بزنم. یه مسئلهٔ معروف هست که دقیقاً فرق نسبت و تعداد رو هدف گرفته:
یک پارچ ۲ لیتری و یک پارچ ۳ لیتری داریم. در ۲ لیتریه ۱۰ قاشق شکر می‌ریزیم و در ۳ لیتریه ۱۲ قاشق. آب‌قند کدومشون شیرین‌تره؟
اینجا موضوع بیشتر و کمتر نیست. «شیرین بودن» بودن مورد بحثه. عین همین مسئله رو میشه با شدت رنگ مطرح کرد. رنگ‌ها رو قاطی می‌کنیم. ۲واحد سفید با ۳ واحد سیاه و ۴واحد سفید با ۱۰ واحد سیاه. کدوم ترکیب تیره‌تره؟
یا مثال دیگه:
دوتا کیسه داریم. یکیش ۳تا مهرهٔ سیاه و ۲تا سفید داره. یکی ۱ مهرهٔ سیاه و یک مهرهٔ سفید. شانس بیرون اومدن مهرهٔ سفید از کدومشون بیشتره؟
اینجا هم «شانس بیشتر»، ابهام رو از بین می‌بره.
مشکل اینه که در خود این دو موضوع (شیرین‌تر بودن و شدت رنگ بیشتر و شانس بیشتر) هم، بچه‌ها لزوماً سراغ نسبت نمی‌رند. شاید چون تجربهٔ کافی از این دو موضوع ندارند.
یه پیشنهاد دیگه که شاید زمینه‌ش کمتر از احتمال و غلظت رنگ پیچیده باشه:
دوتا دستگاه داریم که لامپ درست میکنند. برای آزمایش دستگاه‌ها، گذاشتیم کار کنند و این نتایج حاصل شد:
یکیشون ۸تا لامپ سالم درست کرد و ۶تا لامپ خراب.
اون‌یکی ۱۰تا سالم و ۸تا خراب.
کدوم ماشین، قابل‌اعتمادتر و بهتره؟ یا شاید هم هردو به‌‌یک‌اندازه قابل‌اعتمادند؟
سلام. نظری که می‌خوام بگم خیلی شبیه نظرات دوستان هست.
فرض کنید می‌خواهیم شربت درست کنیم. دو تا پارچ در نظر بگیریم.
در پارچ اول ۸ لیوان آب و ۷ قاشق شکر می‌ریزیم.
در پارچ دوم ۱۰ لیوان آب و ۸ قاشق شکر می‌ریزیم.
کدام پارچ شربت شیرین‌تری است؟
ببخشید من نظر آقا بهزاد رو ندیدم وقتی داشتم تایپ می کردم! اگر می دونستم تکراریه دیگه نمی فرستادم.
در یک کارتن 8 تخم مرغ سفید و 7 تخم مرغ قهوه ای وجود دارد و در کارتن دیگر 10 تخم مرغ سفید و 8 تخم مرغ قهوه ای داریم. در هر کارتن تخم مرغ ها می خواهند برای خود یک رئیس انتخاب کنند. اگر بدانیم تخم مرغ ها غالبا و اما نه همیشه مایل اند که به همرنگ خود رای بدهند؛ در کدام کارتن شانس یک تخم مرغ قهوه ای برای رئیس شدن بیشتر است؟
نه، چه خوب که فرستادید. 🙂 معلوم شد هم‌نظر هستیم.
در کارتن اول، ۸ تخم‌مرغ سفید و ۸ تخم‌مرغ قهوه‌ای وجود دارد و در کارتن دوم، ۱۰ تخم‌مرغ سفید و ۸ تخم‌مرغ قهوه‌ای وجود دارد. با توجه به تعداد کل تخم‌مرغ‌ها در هر کارتن، یک کارتن تخم‌مرغ‌های قهوه‌ایِ بیشتری دارد. آن کارتن کدام است؟
سلام
من یک مقدار تغییر میدم صورت سوال رو به این ترتیب که :
علی و سینا هر کدام در مزرعه شان مرغ هایی برای فروش دارند.
مرغ های علی در یک مدت ده روزه ؛ در یک ظرف که ظرفیت ۱۰ تخم مرغ را دارد ۸ تا تخم می کنند و مرغ های سینا در همان بازه زمانی در یک ظرف دیگر که ظرفیت ۸ تخم مرغ را دارد ۷ تا تخم می کنند.
اگر شما خریدار باشید ترجیح میدهید مرغ های علی را بخرید یا مرغ های سینا را ؟! چرا؟!
البته تو کامنت بالایی من میشه به جای "مدتی ده روزه" نوشت "مدتی مشخص" که زیاد عدد وارد مسئله نشه.
مساله مشابه دوجا (شاید هم بیشتر!) توی ریاضی خیلی مهم میشه.
یه بار وقتی که توی آمار قصد مقایسه ی دوتا نمونه یا دوتا جامعه مطرحه. مثلا نمره های دو تا دانش آموز رو داریم که توی دوتا کلاس مختلف درس میخونن و میخوایم ببینیم کدوم قوی تر هستند. خب نمره تنها کافی نیست چون ممکنه مثلا معلم یکیشون سختگیرتر باشه و کلا نمره ی بالای مثلا ۱۸ به کسی نده. یا کلی پارامتر دیگه که میتونید بهشون فکر کنید. برای همین میان داده ها رو نرمال میکنند. یعنی مثلا به میانگین جامعه، ماکزیممش یا هر کمیت دیگه ای که برای مساله مناسب باشه تقسیم میکنند. اینطوری قابل مقایسه میشن. توی این مثال، میشه نمره های دو تا دانش آموز رو به میانگین نمرات کلاس خودشون تقسیم کرد. عدد به دست اومده معیار بهتری برای مقایسه هست.
مورد دوم توی بحثهای مربوط به خطا در آنالیز عددیه. مثلا وقتی که جوابی که دنبالش میگردین عدد کوچیکی باشه، مثلا ۰.۰۰۰۰۰۰۱، اون موقع خطای ۰.۰۰۰۰۱ اصلا خطای خوبی نیست، ولی اگر جواب مثلا یک عدد دو رقمی باشه، همین خطای ۰.۰۰۰۰۱ میتونه خطای خیلی کوچکی محسوب بشه. در این موارد هم معمولا از خطای نسبی استفاده میکنند. یعنی تفاوت جواب تقریبی و جواب دقیق رو به جواب دقیق تقسیم میکنند تا معیار تصمیم گیری بهتری به دست بیارن.
استاد آنالیز عددی ما همیشه موقع تدریس خطای نسبی مثالی که میزد مقایسه ی ۱ گرم سبزی خوردن با یک گرم طلا بود. از اولی به مراتب راحتتر میشه چشم پوشید تا از دومی.
به سوالتون جواب ندادم ولی شاید بتونه الهام برانگیز باشه!
در یک کارتن 8 تخم مرغ سفید و 7 تخم مرغ قهوه ای وجود دارد و در کارتن دیگر 10 تخم مرغ سفید و 8 تخم مرغ قهوه ای داریم. اگر تخم مرغها هم اندازه باشند و در یک سطح چیده شده باشند و جعبه ها همرنگ باشند، بعد از باز کردن در جعبه ها، کدام جعبه قهوه‌ای تر به نظر می‌رسد؟