یکی از حدس‌های اویلر در دهه‌ی ۱۹۶۰ توسط سه ریاضی‌دان آمریکایی رد شد. آنها نشان دادند که یک عدد صحیح و مثبت مانند n وجود دارد به طوری که
$$۱۳۳^۵ + ۱۱۰^۵ + ۸۴^۵ + ۲۷^۵ = n^۵$$
مقدار n را پیدا کنید.
خود حدس اویلر خیلی بانمک است.
به دو تا عدد فکر کن که مجموع توان دوم آنها خودش هم توان دوم یه عددی باشه.
حالا به چند تا عدد فکر کن که مجموع توان سوم آنها خودش هم توان سوم یه عددی باشه. (اون چند، دو نمی تونه باشه. یعنی نمی تونی دو تا عدد پیدا کنی که مجموع توان سوم آنها خودش هم توان سوم یه عدد دیگه باشه. باور نمی کنی یه تلاشی بکن.) ولی خوش شانس باشی می تونی سه تا عدد پیدا کنی که مجموع توان سوم آنها خودش هم توان سوم یه عددی باشه. اونها رو پیدا کن.
حالا طبیعی به نظر می رسه که اگه به خواهی چند تا عدد پیدا کنی که مجموع توان چهارم آنها خودش هم توان چهارم یه عدد باشه، باید حداقل چهار تا عدد داشته باشی.
یا اگه بخواهی چند تا عدد پیدا کنی که مجموع توان پنجم آنها خودش هم توان پنجم یه عدد باشه، حداقل باید پنج تا عدد داشته باشه.
و اگه بخواهی چند تا عدد پیدا کنی که ...
این حدس اویلر بود.
جالب اینجاست که هنوز کسی نمی دونه که آیا حدس اویلر برای مجموع توان های شش، یا هفت یا هشت و باقی بر و بچ درست است یا نه. ولی تکلیف حدس اویلر در مورد مجموع توان های چهارم و مجموع توان های پنجم معلوم است. با توجه به سوال پرسیده شده، باید بتونین حدس بزنین که سر حدس اویلر برای مجموع توان های پنجم چه بلایی اومده. بررسی حدس اویلر برای مجموع توان های چهارم با شما. اگر تکلیف توان شش را هم معلوم کردید برای من بفرستید که جفتمون معروف شیم ?
خیلی ممنون دکتر اصغری عزیز از توضیحات تکمیلی و همین طور مدیر محترم گروه. خیلی خوب بود.