ادامه ی روز هجدهم، ادامه ی مساله ی پنجم***  

صفحه 1 / 2

Amir
ارسال‌ها: 156
 Amir
Admin
(@amir)
عضو
عضو شده: 2 سال قبل

فقط برای اینکه یه کمی ماجرا در ادامه هیجان انگیز تر بشه، به جای نسبت قطر مربع به شعاع دایره، وارون آن، یعنی نسبت شعاع دایره به قطر مربع را در نظر بگیرید. پس مساله اینه:

یک دایره و یک مربع مساحت یکسانی دارند. نسبت طول شعاع دایره به طول قطر مربع چقدر است؟

تعمیم سرراست بعدی این است:

یک کره و یک مکعب حجم یکسانی دارند. نسبت طول شعاع کره به طول قطر مکعب چقدر است؟

تعمیم بعدی که مغز ترکون است، این است:

یک کره ی چهار بعدی و یه مکعب چهار بعدی «حجم» یکسانی دارند. نسبت طول «شعاع» کره به طول «قطر» مکعب چقدر است؟

سخت بشه این موجودات رو تصور کرد. ولی بگذارین یه تصویری از اونها بگیریم.

مکعب راحت تر است. در جدول زیر ، (a) ضلع مکعب است.

حجم مکعب دو بعدی(همون مربع خودمون)         (a^۲)
حجم مکعب سه بعدی                                    (a^۳)
حجم معکعب چهار بعدی                                (a^۴)
....                                                         .....

حجم کره خیلی فنی تر است ولی یه تلاشی می کنم. در نظر بگیرین حجم درون یه دورتادوری است. با این حساب، حجم کره ی دو بعدی (که همون دایره ی خودمان است) یعنی درون دورتادور آن، که همان محیط خودمان است.  در جدول زیر ، (r) شعاع است.

کره ی یه بعدی ما یعنی به پاره خط بین دونقطه. مرزش یعنی وسط اون پاره خط. شعاعش یعنی فاصله ی مرکز از هر یک از اون دو نقطه.

حالا چرا این کره ی یک بعدی اینجا مهم می شه. به خاطر یه موضوعی خیلی عجیب که شاید شما حالا حالا ها دلیل درستی اش را نبینین ولی یکی از کلیدهای ماجرا است.

اون قرمزی ردیف بالا   (2.pi.r) برابر اون قرمزی ردیف پایین است. خوب حتما می گین خوب که چه چی، فلان چیز هم فلان چیز برابر فلان چیز است. این که نشد مشاهده. ولی خوب نکته اینجاست که این یکی در مورد همه خونه های جدول که در چنین موقعیتی قرار دارند درست است. مثل دو خانه ی زیر:

فکرش رو بکن این یعنی اندازه سطح کره ی چهار بعدی هست:

( ۲pi r.pi r^{۲} =۲pi ^{۲} r^{۳})

ولی ما حجم کره ی چهار بعدی رو می خواستیم نه سطح اون رو. این یکی به یه موضوعی مربوط می شه که اگه خوش شانس باشین باید در درس های مربوط به مشتق و انتگرال دیده باشین.

می شه تو هر ستون با دونستن بالای ستون (سطح) پایین ستون (حجم) رو به دست آورد.

Spoiler
از سطح به حجم

توان r را یکی زیاد می کنیم و کل عبارت را بر توان جدید تقسیم می کنیم.

 

به این ترتیب می شه حجم کره ی چهار بعدی رو با توجه به سطح اون به دست آورد که می شه:

( dfrac{۱}{۲} pi ^{۲} r^{۴})

حالا همه چی برای حل مساله آماده است:

یک کره ی چهار بعدی و یه مکعب چهار بعدی «حجم» یکسانی دارند. نسبت طول «شعاع» کره به طول «قطر» مکعب چقدر است؟

و حتما می دونین سوال بعدی چی است.

یک کره ی پنج بعدی و یک مکعب پنج بعدی «حجم» یکسانی دارند. نسبت طول «شعاع» کره به طول «قطر» مکعب چقدر است؟

و همینطور سوال های بعدی. و حالا آن چیزی که دهانتان را از تعجب باز نگه می دارد.

این نسبت ها را واقعا حساب کنید. یعنی ضرب و تقسیم هایش را انجام دهید و ببینید همینطوری که بعد بیشتر و بیشتر می شود چه اتفاقی می افتد. 

ابتدا تلاش کنید دهان خود را از تعجب ببندید. بعدش را خودتان می دانید!

8 Replies
azar
ارسال‌ها: 16
 azar
(@azar)
Active Member
عضو شده: 1 سال قبل

سلام. جالب بود ولی بد جوری ذهن رو درگیر می کنه و به سادگی نمیشه از این افکار بیرون اومد?

پاسخ
مریم عادلی ساردو
ارسال‌ها: 20
(@msardo)
Eminent Member
عضو شده: 1 سال قبل

ممنون دکتر اصغری عزیز عالی بود.من برای این که نسبت به فضای چهاربعدی حس بیش‌تری پیدا کنم یه جستجویی کردم:اینجا را ببینید.

 

پاسخ
مریم عادلی ساردو
ارسال‌ها: 20
(@msardo)
Eminent Member
عضو شده: 1 سال قبل

این هم در آپارت هست شاید راحت تر دسترسی داشته باشین

پاسخ
محمدمهدی علاقمندزاده
ارسال‌ها: 5
(@m-mhdyil400gmail-com)
Active Member
عضو شده: 1 سال قبل

آیا این مسئله به مسئله تاریخی یونانی تربیع دایره مربوط میشه!

پاسخ
صفحه 1 / 2

روز تولد مریم (۲۲ اردیبهشت)، روز دوستی ریاضی

در تماس باشید

لطفا ما را از فعالیت های خود برای روز دوستی ریاضی آگاه کنید.

Sending

Log in with your credentials

or    

Forgot your details?

Create Account

لطفا ورود یا عضویت