سلام دوستان.

راستش خیلی وقته که سوالات زیر ذهن من رو به خودش مشغول کرده و هنوز جوابی براش پیدا نکردم. ممنون میشم کمک کنید.

فکر می کنم همگی با نوار موبیوس آشنا هستید.

برخلاف حلقه های معمولی که وقتی از وسط نوار را ببریم، به دو تا حلقه ی مجزا تبدیل میشه، در نوار موبیوس، با چیدن کاغذ، یک نوار بلند پیدا می کنیم. خوب این اتفاق به خاطر اون 180 درجه چرخشی هست که به کاغذ می دیم ولی نمی فهمم که چرا باید چنین اتفاقی می افتاد. بذارید این طوری بگم: یه سری از خواص نوار موبیوس رو می تونم بر اساس این چرخش درک کنم و یا شهودی بفهمم (مثل این که چرا یک رو داره یا چرا فقط یک لبه داره) اما این خاصیت که چرا وقتی از وسط نوار رو ببریم یک حلقه بزرگ میشه، برام شهودا قابل درک نیست.

خوب حالا این بماند، یه مسئله دیگه این هستش که وقتی من نوار کاغذی رو به جای این که 180 درجه بچرخونم و بعد دو سر نوار رو بچسبونم، 360 درجه بچرخونم، حلقه ایجاد شده باز هم مثل حلقه های معمولی دو رو داره؛ اما اگر همین حلقه ای که با 360 درجه چرخش بدست اومده رو از وسط ببرم، این بار به دو تا حلقه موبیوس تبدیل میشه که در هم گیر کرده اند. این دیگه واقعا برام قابل درک نیست که چرا باید چنین بشه.

ممنون میشم اگر خودتون نسبت به چرایی این دو وضعیت شهودی دارید، با من هم در میان بگذارید و یا اگر مرجعی رو میشناسید که جواب داده، معرفی کنید.

3 Comments
  1. Mehdi 1 سال ago

    سوال خیلی جالبیه. من سوال رو به دو قسمت تقسیم میکنم و سعی میکنم یک جواب قانع کننده به قسمت اول بدم و برای قسمت دوم توضیح بدم که چرا مساله در حالت کلی پیچیده هست.
    یک روش پر کاربرد برای دیدن یک رویه , تصور کردن رویه به صورت یک (یا چند) چند ضلعی هست با این شرط که بعضی از ضلع های اونها رو برابرسازی میکنیم (identify).
    در مورد نوار موبیوس, میشه با یک مستطیل شروع  کرد و دو ضلع روبرو رو به دلخواه انتخاب کرد و بعد اونها رو با جهت مخالف با هم برابر کرد (شکل اول, سمت چپ). توجه کنید این نکته که جهت ها مخالف هستن خیلی مهمه و در غیر این صورت یک نوار معمولی به دست میاد (شکل سمت راست).

     فرض کنید که ضلع راست و چپ را برابرسازی کرده ایم. به صورت شهودی منظور از برابر کردن اینه که اگر یک مورچه روی چند ضلعی حرکت کنه و به ضلع سمت راستی برسه, از نقطه ی متناظر (تحت برابر سازی) ضلع سمت چپی سر در میاره. حالا میشه دید که وسط نوار موبیوس متناظر با خط افقی وسط مستطیل هست (خط چین آبی رنگ وسط مستطیل) و اگرمستطیل رو از این خط ببریم, شکل ایجاد شده همبند (یکپارچه) میمونه. برای دیدن این موضوع دوباره از آزمایش مورچه ی فرضی استفاده میکنیم. فرض کنید که مورچه ای روی چند ضلعی و کمی بالای خط افقی وسط حرکت میکنه. مورچه به سمت چپ حرکت میکنه تا به نیمه ی بالایی ضلع سمت چپ میرسه. بعد مورچه از قسمت پایینی ضلع سمت راست مستطیل وارد میشه؛ به این خاطر که برابر سازی با جهت های مخالف انجام شده بود. حالا مورچه به مسیرش در نیمه ی پایینی مستطیل ادامه میده تا به نیمه ی پایینی ضلع چپی برسه و این بار از نیمه ی بالایی ضلع راستی سر در میاره؛ یعنی همون جایی که ازش شروع کرده بود. چون مورچه, بدون گذار از خط افقی وسط رویه به همه جا دسترسی داشت, پس اگر رویه رو از وسط ببریم, همبند میمونه. 
    این موضوع که اگر یک رویه رو از روی یک خم بسته ببریم ممکن هست همبند بمونه, در مورد رویه های با پیچیدگی بیشتر راحت تر دیده میشه. برای مثال دو خم روی چنبره نشون داده شدن؛ در شکل سمت راست اگر چنبره رو از روی خم ببریم, همبند میمونه اما برای خم سمت چپ این طور نیست.


     
    در مورد سوال دوم باید بگم که نحوه ای که یک رویه توی فضای سه بعدی قرار میگیره میتونه خیلی متنوع و پیچیده باشه و این چیزی هست که اینجا مهم میشه. در قسمت اول یک راه ساده برای تصور کردن رویه ها ارایه شد؛ اما این روش فکر کردن فقط در مورد ساختار خود رویه به ما اطلاعات میده نه به نحوه ای که رویه توی فضا قرار گرفته (embedding). اگر با مفهوم گره (knot) آشنا باشی, میتونی تصور کنی که فهمیدن نحوه ی قرار گرفتن یک نوار موبیوس حداقل باید به اندازه ی مساله ی فهمیدن گره ها پیچیده باشه (که مساله ی پیچیده ای هست)؛ چون میشه تصور کرد که به ازای هر گره حداقل یک نوار موبیوس شبیهش وجود داره (فرض کن که گره از یک نوار کاغذی ساخته شده؛ حالا یک قسمت از کاغذ رو ببر و بدون برهم زدن شکل گره دو سمت کاغذ رو این بار با جهت مخالف به هم بچسبون). 
     

  2. Author
    شراره 1 سال ago

    سلام و سپاس فراوان از توضیحات خوب تون. من که حسابی خوشحال شدم چون این سوال از دوم دبیرستان تا حالا با من بود.
    جالب بود که من در درس توپولوژی جبری با ایده یکی گیری (identify) لبه های مستطیل آشنا بودم و دقیقا به همین خاطر می تونستم درک کنم چرا نوار موبیوس یک رو و یک لبه داره ولی این که چرا از وسط میبریم، نوار بدست آمده همبند میشه برام مشخص نبود. این که شما گفتین حرکت رو از جایی بالای خط چین وسط آغاز کنیم کاملا بهم کمک کرد. تازه خوبیش این بود که به کمک این توضیح تونستم بهتر بفهمم چرا اگر نوار رو از عرض یک سوم ببریم، در نهایت دو تا نوار با عرض یک سوم داریم که طول یکی، دو برابر دیگری هست.
    اما خوب هنوز سوالاتی برام باقی مونده که بر می گرده به قسمت دوم توضیحات شما که درمورد وضعیت رویه در فضاست. اگر اشتباه نکنم این موضوع به همون خواص extrinsic شکل مربوط میشه و من خیلی خیلی تازه دارم درموردش مطالعه می کنم و نیاز به تمرین بیشتر و مطالعه بیشتر دارم.
    ممنون می شوم اگر کتاب خوبی سراغ دارید که خواص توپولوژکی اشکال رو طبقه بندی می کنه و توضحیح میده، معرفی کنید.
    باز هم تشکر می کنم.

    شاد باشید.
    شراره

    • Mehdi 1 سال ago

      خوشحالم که توضیحات تونستن کمک کنن. همون طور که گفتید خواص اولیه ذاتی (intrinsic) هستن و خواص دومی (extrinsic), یعنی به نحوه ی قرار گرفتن شکل در یک فضای دیگه بستگی دارن. برای مثال همبندی یک شکل و جهت پذیری اون، خواص ذاتی هستن ولی بردار عمود به یک رویه به نحوه ی قرار گرفتنش توی فضا بستگی داره. من یادمه که کتاب intuitive topology از prasolov خیلی کتاب جذابی به نظرم میومد (در زمان مناسب). به نظر میاد که کتاب به فارسی هم ترجمه شده؛ این لینک رو ببینید:
      http://www.fatemi.ir/Details.aspx?bookid=4179
      ممکنه بتونید متن انگلیسی رو آنلاین هم پیدا کنید.

Leave a reply

روز تولد مریم (۲۲ اردیبهشت)، روز دوستی ریاضی